Cas particulier des fonctions constantes

Propriété

Le plan est muni d'un repère orthogonal. Soit \(a\) et \(b\) deux réels tels que \(a<b\).
Soit \(k\) un réel positif. On a alors  \(\displaystyle \boxed{\int_a^b k\;\text d x = k(b-a)}\).

La figure suivante illustre la situation, on reconnaît la formule de l'aire d'un rectangle de dimensions \(k\) et \((b-a)\).

Exemples

1. \(\displaystyle \int_1^4 5\; \text d x = 5\times (4-1)=15\) d'après la propriété ci-dessus puisqu'on intègre la fonction constante égale à \(5\). 
2. Soit \(t\) un réel positif. On a\(\displaystyle \int_3^8 5t\;\text d x=5t(8-3)=25t\). En effet, pour tout \(t\) réel positif donné, la fonction \(x\mapsto 5t\) est une fonction constante par rapport à \(x\).